第三者が所有する土地の上に古いアパートを所有。売却は可能でしょうか？

第三者が所有する土地の上に建物を所有されているとのことですが、『どのような法的根拠（敷地利用権）で第三者所有の土地に建物が建っているのか』が定かではないため、今回は土地に借地権が設定されていることを前提に回答させていただきます。
アパートを売却する方法としては・・・
①借地権付建物』として売却する。（地主の承諾が必要となります。）
②土地所有者から底地権を買い取って完全な所有権として売却する。（地主との交渉が必要となります。）
③土地所有者に借地権および建物を買い取ってもらう。（地主との交渉が必要となります。）
などが考えられます。
どの方法を選択するかについては不動産会社へ相場等をご確認の上、ご検討されることをお勧めいたします。
※建物所有の法的根拠が借地権ではなく“土地の使用貸借”である場合、この契約は当事者間のみ有効であることから『建物所有権を移転した段階で使用貸借契約が終了する』と考えられ、建物単独でのご売却は困難であると考えます。