賃借建物増築部分の時効取得について教えてください。

まず所有権については、時効取得はできません。
賃貸借契約に基づいて家賃を支払っている状態が続いている以上、それが20年たったとしても、所有権の取得はできません。
賃料を支払わず、何も請求もされず、固定資産税を支払っているというように、あたかも所有権者のような状態が長く続いた場合には所有権の時効取得が認められます。
賃貸借契約を締結していない状態のまま、しかし家賃をずっと支払っているといった状態が続いている場合には、賃借権の時効取得が認められます。
民法163条が規定しているのはこの内容です。

したがって、もし本件で、賃貸借契約を締結していないということであっても、家賃を払い続けているわけですから、賃借権の時効取得は主張ができると思いますが、あくまでも賃借権にとどまります。

ただ、前大家さんと退去時にはそのままでいいといった内容の書面を交わされているのであれば、その効果は相続人に引き継がれているので新たな大家さんが相続人であれば壊す義務はないことになります。

ただ、相続人が別の他人に物件を売ってしまっているような場合については、そのような関係は当然には引き継がれませんが、念のため新大家にはこのような内容の書面を前大家と締結しているという話をして、交渉をされてみてはいかがでしょうか。