共益費内訳に関して、契約内容と異なる請求をされましたが、支払いの義務はあるのでしょうか？

契約書にそのような記載があるのであれば、水道代の支払いは、貸主の義務になります。
あくまで事前に説明をうけ、契約を交わした内容で、賃借人の義務が確定いたします。
間の手続きを行った不動産屋の説明ミスということであれば、不動産屋に過失があるので、貸主と不動産屋で水道代の支払について、話し合いをすべき問題であり、借主様に関係する話ではありません（貸主も印鑑をついている以上、貸主にも責任があります）。

契約書上、共益費に水道代が含まれる旨記載がある以上、共益費を支払う以上の負担をする義務を借主様が負うことはございませんので、その旨はっきりと不動産屋にお話しなさってください。不動産のプロとして、賃貸物件にかかる費用を間違えるようなことはあってはならないですし、そうであるにもかかわらず、説明や契約書とまったく異なる費用負担を求めることは、当該不動産屋は、宅建業法に抵触する可能性もございます。

あくまで不当な主張を不動産屋がされる場合には、不動産屋を管轄する都道府県の宅建に関する相談窓口に対応をご相談されるのもよろしいかと思います。