賃借契約更新手続きと、火災保険手続に係る業者の不手際について相談させてください。

①更新手続きは不動産会社によってさまざまです。
入居時に書面を取り交わしをしないということはないですが、更新については、更新料だけの支払いで更新手続きを終えるような場合もあります。また、入居時の契約で更新料の支払いが賃借人の義務になっているので、書面の取り交わしがなければ更新料を支払わないと拒否することは難しいです。したがって、とりあえず更新料を支払ってほしいという要求は法的に×とは言いにくいです。
ただ、本件のようないい加減な対応の会社に対しては、書類が整ってから支払いたいと要求することは全くおかしくないと思います。

②通常火災保険は賃貸をするときの条件になっている場合も多く、未加入時期があってはいけないので、本件のように手続きが遅れてしまっている場合でも、契約日は遡ってと言われることがほとんどだと思います。ただ、この点は保険会社の考え方もあるので、一度保険会社に問い合わせをされてもよいと思います。

③不動産会社の手続きの遅滞により、火災保険が未加入で、そのために火災が起きてしまったというような場合には、不動産会社に損害の補填を求めることになります。火災保険に入っていれば支払うことが無かった賠償費用を不動産会社に請求することになります。
ただ、実際には非常に負担が大きい手続きになりますし、時間もかかります。すでにお支払いを終えているので、早急に書類を再送し、手続きを進めるよう不動産会社に要求したうえで、ちゃんとした手続きをしないのであれば、直接貸主に相談することを不動産会社にも伝えてよいのではないでしょうか。