生活騒音トラブルについてご相談です。

隣人関係については、社会生活上、お互いある程度は我慢をするという義務が法的にもあるので、同義務を超えた騒音でないと法的には各対応を求めることができません。

受忍義務を超えているのか否か音声等を聞くことができないので分かりませんが、以下では、受忍義務を超えた騒音であるという前提でお答えします。
証拠ついては、ある程度しっかりなされているようですので、この点も十分な証拠があるという前提でお答えします。

①賃貸人の義務
　まず、管理会社はあくまで物件を管理している立場であり、住民を追い出すところまでの権限は有しておりません。それをできるのは、物件を貸している賃貸人ということになります。
　賃貸人は、各賃借人に建物を十分な状態で使用させる義務があり、賃借人の使用に支障が生じる状態が発生すれば、その支障を除去する義務があります。
　賃貸人が同義務に違反して、賃借人に損害が出た場合、その損害について賠償する義務があります。
　本件でも、恐らく、管理会社はこの義務を意識していると思いますので、現段階では、「改善なき場合は退去を求める」警告にまで至っています。
　それにもかかわらず改善がない場合、賃貸人は、最終的な改善を求める催告をして（場合によっては催告をしなくても）賃貸借契約を解除し、退去を求めることができるとされています。
　ついては、管理会社を通して賃貸人にこの対応を求めたらいかがでしょうか。

退去されないのであれば、自分が転居するほかないのであるから、騒音により十分な建物の使用ができなかった相当分の賃料分、転居費用や精神的苦痛の慰謝料を損害賠償として求めたいという主張も可能です。
ただし、転居費用は、一旦自ら自腹を切ってから請求するのが原則なので、事前にもらえるかは交渉次第です。
また、賃貸人が、退去を求めても、騒音者が自ら退去しない場合、賃貸人が、裁判所に対して退去を求める裁判を提起することも考えられますが、それなりの時間はかかると思います。
この期間について、賃貸人の負担で防音シートを支給してもらう、賃料の減額を求める、などの手段もありますが、この点も交渉しだいです。
また、賃貸人の保有するマンションに空き部屋がある場合は、交渉次第で、その部屋に無償で移動するということも実際上はあるようで、こういう交渉もしたらいかがでしょうか。
なお、一連の主張、交渉については、弁護士に代理としてやってもらうことも可能です。

②賃借人の権利
　賃借人も、我慢をする義務を超えた騒音被害を受けている場合、人格権侵害として、直接、騒音者に対し、迷惑行為をやめるよう請求したり、騒音により十分な建物の使用ができなかった相当分の賃料分、転転居費用や精神的苦痛の慰謝料などを損害賠償として請求することができます。弁護士にお願いをして、弁護士名で警告をすることも可能です。

③弁護士費用、求めることができる金額
　本件では、弁護士は②③の対応ができる位のレベルかと思いますが、弁護士費用は弁護士によって異なるので申し訳ございませんが、回答はできません。無料の法律相談などをまずはご活用なさることをお勧めいたします。
　ちなみに、慰謝料は、日本の場合、大きな金額ではなく、多分多くても数十万程度でしょう。

④警察への相談
　おそらく相談すれば、注意位してくれますが、警察も、注意することによって、トラブルが激化した場合の責任をとれないので、そういうこともあるがそれでも注意するかと、事前に聞いてくると思います。
　警察には民事不介入の原則があるので、身体に対する実害があった場合、暴行罪・傷害罪として、一般人が期待するような対応をしてくれますが、騒音・匂いなどの無形物による隣人トラブル被害については、それ以上の対応は警察も動きにくいと思います（騒音・　匂いが尋常ではなく被害者の精神的に影響が出るほどの場合には例外的な対応もあり得ますが）。